群论博士毕业做什么工作？

编译 | 贝爽

一个困扰了数学界80多年的单位猜想，被一个博士后研究员证伪了。他在晶体形状的对称性结构中，发现了一个关于乘法逆元基本猜想的反例。
近日，一位名叫吉尔斯·加丹（Giles Gardam）的博士后数学家组织了一场在线讨论会。会上，Gardam详细阐述了单位猜想的发展过程，并解释了它与代数K理论（Algebraic K theory）之间联系。而在演讲快要结束时， 他说，“现在是时候宣布最新消息了，实际上单位猜想是错误的。”
单位猜想（ Unit Conjecture）是一个基础但又令人困惑的代数问题，它与零除数（Zero Divisor）和幂（Idempotent）合称为卡普兰斯基猜想（Kaplansky Conjectures）。该猜想涉及的问题很简单， 即在一个广泛的代数结构中，某些元素具有乘法逆元，某些元素则不会有。
乘法逆元（Multiplicative Inverses）是成对的，例如7和1/7（两者相乘等于1），但是单位猜想不是“普通代数”，而是“群代数”中元素的乘法逆元，“代数”是将数字系统（如实数）与群（一个广泛的类别，如矩阵、对称变换集合）结合而成的结构。
早在80多年前，数学家们就推测只有最简单的元素才能有乘法逆元。后来，研究人员试图寻找出更复杂的具有乘法逆元的元素， 但直到20世纪中叶，但他们既没有证明这个猜想，也不没有提出反例。
牛津大学的戴维德·基拉克（Dawid Kielak）表示，在过去的几十年中，卡普兰斯基猜想被称为“令人绝望的问题”。他说，“即使许多数学家放弃证明这三个猜想，但它们仍然“以某种方式处于代数研究的背景”，而这在很大程度上与K理论有关。
现在，来自明斯特大学（ Münster University ）的博士后Gardam，通过在由特定三维晶体形状的对称性建立的群代数内找到了特例“单位”，即具有乘法逆元的元素，反驳了单位猜想。
南安普敦大学的彼得·克罗普洛勒（Peter Kropholler）对此评价称： “这是一项了不起的工作。”
Kielak也兴奋的表示，“现在数学家们的任务是了解Gardam证伪背后的原理”，“我们正处在闸门打开的状态，现在一切都将成为可能”。
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什么是“单位猜想”
1940年，一位名叫Graham Higman的数学家在其博士论文中提出了一个大胆的猜想： 在所有群代数中，只有一个项的元素（例如7a或8b）具有乘法逆元，但是具有多个项（例如r + 2或3r-5s）的和永远不会具有乘法逆元。 由于具有乘法逆元的元素被称为单位，因此，Higman的假设被称为单位猜想。
单位猜想借鉴了庞大的群论（Group Theory）概念。 在数学和抽象代数中，群论被称为“群的代数结构”，包括环、域和模等许多代数结构，都可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。因此，许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
群是一种代数结构，那什么是代数结构？简单来说，一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构（例如计算机的数据结构：数据+操作）。
再比如，自然数和自然数上定义的加法，也是一个简单的代数结构。在这个代数结构中，一个自然数加上另一个自然数，还是一个自然数，满足封闭性。任何自然数加上0则不变，0是单位元。任何自然数都存在对应的逆元，其加上逆元后为单位元0，比如2+（-2）=0。
群属于抽象代数的研究对象，其元素也满足上述提到的封闭性、单位元、逆元等。抽象代数将初等代数的研究对象进行了概念延伸，比如把数延伸为集合，把加法延伸为二元运算，把0/1延伸为单位元，把负数延伸为逆元素等等。
对称群是一类比较容易理解的群。正方形的对称操作（比如旋转和反射）形成了一个群，这个群里有下列8个元素，每个元素代表一个对称操作：
在这个群中，封闭性是指任意两个对称操作连续执行（比如先向右旋转90度，再向右旋转180度），都和一个对称操作是一致的（即向右旋转270度），单位元是保持原样操作，逆元是指任意一个对称操作都对应一个操作，两者连续执行后和保持原样是一致的（比如向右旋转90度和向右旋转270度）。
根据群论概念，两个元素要想“相乘”得到一个新的元素，需要按照要求进行 操作，即该集合必须包含一个特殊元素（通常标记为“ 1”），当与其他元素相乘时，该元素保持不变，每个元素g必须具有一个乘法逆元 ，以 使g乘g^-1相乘 等于1 。 只有这样，一个集合才能成为 群。
群的概念是庞大的，它有矩阵群、对称变换群或者一副纸牌通过不同排列形成的群。在许多群中，只有一种算术运算才有意义，但是矩阵是不同的，它除了可以相乘，还可以相加，或者将一个矩阵乘以一个数字系数。矩阵是理解线性对象和变换的关键，正是因为这种能力，数学家和物理学家经常将群元素表示为矩阵形式来深入了解其他群。
大约一个世纪以前，群论学家提出疑问：如果我们要以矩阵形式表示群元素，为什么不将矩阵的某些特殊属性封装在原始群的代数结构中呢？更重要的是，为什么不考虑将群元素相加或将它们与某个数组的系数相乘呢？毕竟，如果a和b是两个群元素，则至少可以合理地猜测，12a + 7b也是群元素之一。
实际上，这些组合对原始群而言通常没有任何意义，不过，这并不妨碍我们对这种形式的和进行代数运算。数学家称这些和的集合为“群代数”，而这种将群和系数编织在一起的结构，如Gardam在邮件中所说，“它将关于[群]的[矩阵]表示的信息打包在了一起”。
在许多方面，群代数中的元素类似于高中代数中熟悉的多项式表达式。这里的关键区别是：如果将两个多项式相乘，某些项可能会抵消，指数最高的项会保留。例如（x-1）与（x+1）相乘，x和-x项会相互抵消时，而x的二次方项仍然会保留。
但是在群代数中，群元素之间的关系会导致抵消的项难以预测。
例如，假设一个群是字母“ A”对称变换的集合。该群仅包含两个元素：一是保持不变的操作（记为“ 1”），二是相对于中心垂直轴的反射（记为r）。经两次反射，“A”的每个点将还原到原始位置。因此，在群乘法中，r乘以r等于1。这种关系会导致群代数中出现各种意外的结果，例如，如果将 r + 2 乘以 - r / 3 + 2/3 ，几乎所有项都会被抵消，剩下的只有1。 （ 注意，这只是一个说明示例，如上面所述，这些代数和项本身没有意义，所以它并不是一个反例。 ）
换句话说， r + 2 和 2/3-r / 3 是乘法逆元。
Graham Higman认为，这种全部抵消的怪异现象，只有在用于构造群代数的群包含某些幂等于1的元素时才会发生。与上面示例中的r一样，在所有其他组代数中，只要单一的术语元素具有乘法逆。
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卡普兰斯基猜想与代数K理论
直到20世纪中叶，单位猜想才被大范围普及，而这要得益于一位杰出数学家欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky）。
Kaplansky将该猜想与另外两个被称为零除数（Zero Divisor ）和幂（Idempotent ）等群代数猜想打包一起推广， 他认为，这三个猜想都表示，群代数与我们习惯将数或多项式相乘的代数没有太大的不同。后来，这三个猜想被统称为卡普兰斯基猜想。
值得注意的是，尽管卡普兰斯基呼吁人们关注这些猜想，但当时几乎没有证据证实该猜想。如果有的话，一个哲学上的理由曾否认了这个猜想：据说，数学家米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov）观察到，“群的形式是多种多样的，以至于任何关于群的普遍性陈述几乎总是错误的”。
单位猜想的提出是“非常大胆”的，但是数学家们始终并没有提出反例。直到20世纪下半叶，代数K理论（algebraic K theory）开始被引入其中。
代数K理论，是一个代数学分支，它最早可追溯到1958年格罗腾迪克（Grothendieck，A.)关于广义黎曼-罗赫定理的研究。该理论使用难以计算的群不变式，可以将代数与广泛的数学学科联合起来，如拓扑学和数论。

借助K理论，研究人员能够将单位猜想与何时可以将拓扑形状转换为另一种形状的问题联系起来。
研究人员表明，某些K理论可能为零除数猜想和幂猜想提供有力的证据，但单位猜想除外，它是三个猜想中最难被验证的。虽然数学家仍能够通过多项式中的最高指数性质来证明许多特定群的单位猜想，但仍未发现单位猜想的反例。
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Hantzsche-Wendt：发现21个项的乘法逆元
Gardam发现的反例出现在一个被称为Hantzsche-Wendt的群。这个群通过将三维晶体的侧面粘合在一起构建而成，它具备形状学家所谓的对称性。
通过Hantzsche-Wendt 群寻找单位猜想的反例并不是一件容易的事：这个群具有无限个元素，所以元素的代数和也有无限个。早在2010年，一些数学家就证实，即便这个群中有一个反例，也不会出现在最简单的代数和中。
而现在，Gardam在Hantzsche-Wendt群建立的群代数中，找到了一对分别具有21个项的乘法逆元。找到这对乘法逆元需要复杂的计算机搜索，但要验证它是可逆的，就需要进行人工计算：将它们相乘并检查乘积中的441个项是否可以简化为1。基尔拉克说，Gardam一旦公开他的算法详细信息，其他数学家将会深入探究Hantzsche-Wendt群，以发现更多反例。
据悉，验证单位猜想花费了Gardam多年的时间，不过，他的目的并不是为了获得高额的奖金，而是为了满足好奇心带来的喜悦。
在一封邮件中，他写道：“强大的理论有其自身的美丽和优雅，但如果一切都死板的，并受到严格的控制，那么这个研究主题可能会变得非常枯燥。”“寻找反例是使数学变得有趣并保持魅力很重要的一部分。”
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