【考研数学】设f(0)=0则f(x)在点x=0可导的充要条件

f（0）=0不是f（x）在点x=0处可导的充要条件
f（0）左右导数存在且相等是可导的充分必要条件
f（0）可导，f（0）必需连续

扩展资料：
函数f（x）在某一点是否可导，要判断f（x）在这个点左右导数存在且相等，如果不存在，不可导，如果不相等，也不可导。
例如：f（x）=|x|，在x=0点连续，不可导，因为在x=0的左右导数不相等
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
参考资料来源：导数_百度百科

选B
必要性就不谈了，如果f'(0)存在四个选项中的极限都存在，只要看充分性。
A. y = 1-cosh ～ h^2/2 >=0，lim f(y)/y * lim(1-cosh)/h^2 = 1/2 * lim f(y)/y 存在，注意y>=0，所以这个只表明f'(0+)存在，但是并不能说明左导数也存在，比如x>=0时f(x)=x，x<0时f(x)=1。
B. y = 1-e^h ～ -h，lim f(y)/y * lim(1-e^h)/h = -lim f(y)/y，这个说明f'(0)存在。
C. y = h-sinh ～ h^3/3，连阶数都不对。
D. f在0点的连续性没有保障，不用谈可导，比如f(0)=0，x非零时f(x)=1。

选B，详情如图所示
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